题目内容

对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0．设．
（Ⅰ）当n=6时，试写出数阵A66并计算；
（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：=；
（Ⅲ）若，，求证：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．
【答案】分析：（Ⅰ）依题意可得，． ．
（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此是数阵Ann所有数的和．而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．因此数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．从而得到结果．
（Ⅲ）由[x]的定义可知，，所以．所以．再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．
解答：解：（Ⅰ）依题意可得，． ．
（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此是数阵Ann所有数的和．
而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．
对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．
因此数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．
所以=．
（Ⅲ）证明：由[x]的定义可知，，
所以．所以．
考查定积分，将区间[1，n]分成n-1等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为． 所以．
所以＜g（n）．所以g（n）-1＜g（n）+1．
所以g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．
点评：本小题主要考查高阶矩阵、矩阵的应用、定积分等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
练习册系列答案
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（2012•芜湖二模）已知函数f(x)=
1
2
(x+
1
x
)，x≥0，an+1=f（an），对于任意的n∈N*，都有an+1＜an．
（Ⅰ）求a1的取值范围；
（Ⅱ）若a1=
3
2
，证明an＜1+
1
2n+1
（n∈N+，n≥2）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
-n＜
2
+1．
函数f（x）的定义域为R，数列{an}满足an=f（an-1）（n∈N*且n≥2）．
（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，a1≠a2，且f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（k为非零常数，n∈N*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a1=2，bn=lnan(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，对于给定的正整数m，如果
S(m+1)nSmn
的值与n无关，求k的值．
对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann
，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0．设t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．
（Ⅰ）当n=6时，试写出数阵A66并计算
6
j=1
t(j)；
（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[ 
n
i
 ]；
（Ⅲ）若f(n)=
1
n
n
j=1
t(j)，g(n)=
∫
n
1
1
x
dx，求证：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．
（2013•闸北区一模）若数列{bn}满足：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时.
则{cn}是公差为8的准等差数列．
（1）求上述准等差数列{cn}的第8项c8、第9项c9以及前9项的和T9；
（2）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式；
（3）设（2）中的数列{an}的前n项和为Sn，若S63＞2012，求a的取值范围．
（2011•东城区一模）对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann

其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0．
（Ⅰ）当n=4时，试写出数阵A44；
（Ⅱ）设t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．若[x]表示不超过x的最大整数，
求证：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[ 
n
i
 ]．

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