题目内容
(2011•东城区一模)对于n∈N*(n≥2),定义一个如下数阵:Ann=
其中对任意的1≤i≤n,1≤j≤n,当i能整除j时,aij=1;当i不能整除j时,aij=0.
(Ⅰ)当n=4时,试写出数阵A44;
(Ⅱ)设t(j)=
aij=a1j+a2j+…+anj.若[x]表示不超过x的最大整数,
求证:
t(j)=
[
].
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其中对任意的1≤i≤n,1≤j≤n,当i能整除j时,aij=1;当i不能整除j时,aij=0.
(Ⅰ)当n=4时,试写出数阵A44;
(Ⅱ)设t(j)=
n |
![]() |
i=1 |
求证:
n |
![]() |
j=1 |
n |
![]() |
i=1 |
n |
i |
分析:(Ⅰ)依题意对任意的1≤i≤n,1≤j≤n,当i能整除j时,aij=1;当i不能整除j时,aij=0可得数阵A44;
(Ⅱ)t(j)是数阵Ann的第j列的和,则
t(j)是数阵Ann所有数的和,按行相加,根据数阵Ann的第i行中有[
]个1,其余是0,即第i行的和为[
],可证得结论.
(Ⅱ)t(j)是数阵Ann的第j列的和,则
n |
![]() |
j=1 |
n |
i |
n |
i |
解答:解:(Ⅰ)依题意可得,A44=
…(4分)
(Ⅱ)由题意可知,t(j)是数阵Ann的第j列的和,
因此
t(j)是数阵Ann所有数的和.
而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加.
对任意的1≤i≤n,不超过n的倍数有1i,2i,…,[
]i.
因此数阵Ann的第i行中有[
]个1,其余是0,即第i行的和为[
].
所以
t(j)=
[
].…(13分)
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(Ⅱ)由题意可知,t(j)是数阵Ann的第j列的和,
因此
n |
![]() |
j=1 |
而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加.
对任意的1≤i≤n,不超过n的倍数有1i,2i,…,[
n |
i |
因此数阵Ann的第i行中有[
n |
i |
n |
i |
所以
n |
![]() |
j=1 |
n |
![]() |
i=1 |
n |
i |
点评:本题主要考查了数列的求和,以及新定义,解题的关键是弄清数阵Ann的第i行中有[
]个1,其余是0,即第i行的和为[
],属于中档题.
n |
i |
n |
i |

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