题目内容

(2011•东城区一模)对于n∈N*(n≥2),定义一个如下数阵:Ann=
a11a12a1n
a21a22a2n
an1an2ann

其中对任意的1≤i≤n,1≤j≤n,当i能整除j时,aij=1;当i不能整除j时,aij=0.
(Ⅰ)当n=4时,试写出数阵A44
(Ⅱ)设t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj
.若[x]表示不超过x的最大整数,
求证:
n
j=1
t(j)
=
n
i=1
n
i
 ]
分析:(Ⅰ)依题意对任意的1≤i≤n,1≤j≤n,当i能整除j时,aij=1;当i不能整除j时,aij=0可得数阵A44
(Ⅱ)t(j)是数阵Ann的第j列的和,则
n
j=1
t(j)
是数阵Ann所有数的和,按行相加,根据数阵Ann的第i行中有[
n
i
]
个1,其余是0,即第i行的和为[
n
i
]
,可证得结论.
解答:解:(Ⅰ)依题意可得,A44=
1111
0101
0010
0001
…(4分)
(Ⅱ)由题意可知,t(j)是数阵Ann的第j列的和,
因此
n
j=1
t(j)
是数阵Ann所有数的和.
而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加.
对任意的1≤i≤n,不超过n的倍数有1i,2i,…,[
n
i
]i

因此数阵Ann的第i行中有[
n
i
]
个1,其余是0,即第i行的和为[
n
i
]

所以
n
j=1
t(j)
=
n
i=1
n
i
 ]
.…(13分)
点评:本题主要考查了数列的求和,以及新定义,解题的关键是弄清数阵Ann的第i行中有[
n
i
]
个1,其余是0,即第i行的和为[
n
i
]
,属于中档题.
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