Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（I）若为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线的参数方程为（为参数，，且直线与曲线相交于，两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .

【解析】

（I）根据题意设出P,M的极坐标 , 由此写出 , ，又 化简整理可得的极坐标方程，进而可得解；（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆的方程，得到关于t的一元二次方程，利用韦达定理表示 ， ，利用代入整理求解即可。

（I）设的极坐标为，，的极坐标为 .由题设知，

.

由得的极坐标方程为 ，

因此的直角坐标方程为 .

（Ⅱ）方法一：将代入，

整理得，所以，，

设，则的面积

，

当时，的面积取到最大值，且最大值为.

方法二：由直线的参数方程为（为参数，），

化为普通方程，其中，.

由，消去，整理得，

设，，

则，，

设，则的面积

，

当时，的面积取到最大值，且最大值为.