Question

如图，在正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点，设正方体的棱长为2a.

 

（1）求AD与B₁C所在的角；

   （2）证明：平面EB₁D⊥平面B₁CD；

   （3）求二面角E―B₁C―D的余弦值.

Answer 1

解法一：（1）正方体中，AD∥BC，∴AD与B₁C所成的角为∠B₁CB.

    ∵∠B₁CB = 45°，∴AD与B₁C所成的角为45°.

   （2）取B₁C的中点F，B₁D的中点G，连结BF、EG，GF.

    ∵CD⊥平面BCC₁B₁，且BF平面BCC₁B₁  ∴DC⊥BF.

    又BF⊥B₁C，CD∩B₁C = C，

    ∴BF⊥平面B₁CD.

    ∵GF   CD，BE   CD，∴EB   GF.

    ∴四边形BFGE是平行四边形，

    ∴BF∥GE.

    ∴EG⊥平面B₁CD.

    又EG平面EB₁D，∴平面EB₁D⊥平面B₁CD

   （3）连结EF

∵CD⊥B₁C，GF∥CD，∴GF⊥B₁C，又EG⊥平面B₁CD，EF⊥B₁C，

∴∠EFG为二面角E―B₁C―D的平面角

∵正方体的棱长为2a，∴在△EFG中，GF=a，EF =，

即二面角E―B₁C―D的余弦值为

解法二：建立如图所示的空间直角坐标第D―xyz.

   （1），

    ，

∴AD与B₁C所成的角为45°.

   （2）取B₁D的中点F，连结EF.

∴平面EB₁D⊥平面B₁CD

   （3）设平面B₁CD的一个法向量，

由

解得

又设平面B₁CE的一个法向量为

∴二面角E―B₁C―D的斜弦值为