Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=3，

bn+1

bn

 =2 (n∈N*)，b_n=a_n+1-a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{c_n}满足c_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），求Sn=

1

c1c3

+

1

c3c5

+…+

1

c2n-1c2n+1

Answer 1

分析：（1）由题意可知数列{b_n}是首项b₁=2，公比q=2的等比数列．故b_n=b₁q^n-1=2ⁿ．
（2）由a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*）可知a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，由此能够求出数列{a_n}的通项公式．
（3）根据题意，可知

1

c2n-1c2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此能够求出答案．

解答：解：（1）∵

bn+1

bn

 =2 (n∈N*)，又b₁=a₂-a₁=3-1=2．
所以数列{b_n}是首项b₁=2，公比q=2的等比数列．故b_n=b₁q^n-1=2ⁿ
（2）a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2n-1+2n-2++2+1=

1-2n

1-2

=2n-1．
（3）c_n=log₂（a_n+1）=log₂（2ⁿ-1+1）=log₂2ⁿ=n，（n∈N^*），
∴

1

c2n-1c2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Sn=

1

c1c3

+

1

c3c5

++

1

c2n-1c2n+1

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

++

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

点评：本题考查数列的性质和应用，具有一定的难度，解题时要注意公式的合理选用．