题目内容
（2013•乌鲁木齐一模）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD丄CE，垂足为D．
（I） 求证：AC平分∠BAD；
（II） 若AB=4AD，求∠BAD的大小．
分析：（Ⅰ）利用切线的性质即可得出；
（Ⅱ）利用相似三角形的性质即可得出．
（Ⅱ）利用相似三角形的性质即可得出．
解答：证明：（Ⅰ）连接BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠B+∠CAB=90°
∵AD⊥CE，∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵AC是弦，且直线CE和圆O切于点C，
∴∠ACD=∠B
∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠BAD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC∽△ACD，∴
=
，由此得AC2=AB•AD．
∵AB=4AD，∴AC2=4AD•AD⇒AC=2AD，于是∠DAC=60°，
故∠BAD的大小为120°．
∴∠B+∠CAB=90°
∵AD⊥CE，∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵AC是弦，且直线CE和圆O切于点C，
∴∠ACD=∠B
∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠BAD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC∽△ACD，∴
| AC |
| AB |
| AD |
| AV |
∵AB=4AD，∴AC2=4AD•AD⇒AC=2AD，于是∠DAC=60°，
故∠BAD的大小为120°．
点评：熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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