Question

已知A（1，0），B（-2，0），动点M满足∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0）．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若直线l：，且轨迹E上存在不同两点C、D关于直线l对称．
①求实数b的取值范围；
②是否可能有A、B、C、D四点共圆？若可能，求实数b的值；若不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如何体现动点M满足的条件∠MBA=2∠MAB是解决本题的关键．用动点M的坐标体现∠MBA=2∠MAB的最佳载体是直线MA、MB的斜率．
（2）先设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点（x，y）（x₁，x₂，x＜-1）．由点差法有y=-x．又；所以，．又直线CD的方程为．将直线的方程代入（1）的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用到角公式即可求得b值，从而解决问题．
解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y），则，．
由∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0），得，
化简得3x²-y²=3（当时也满足）．
显然，动点M在线段AB的中垂线的左侧，且∠MAB≠0，
故轨迹E的方程为 3x²-y²=3（x＜-1）．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点（x，y）（x₁，x₂，x＜-1）．
由点差法有 ，即y=-x．
又；所以，．
①由3及得，．
②直线CD的方程为，即．
上式代入3x²-y²=3得，8x²+12bx+3b²+4=0，
所以△=16（3b²-8），，，．
若A、B、C、D四点共圆，则∠CAD=60°，由到角公式可得 
即 ，即 ；解得．
故可能有A、B、C、D四点共圆，此时．
点评：求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法，本题主要用直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．