Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）、根据题中已知条件直接化简，然后令

an

3n

=bn，得到则bn+1-bn=1-

1

3

(

2

3

)n，求出b_n的表达式，继而可以求得数列{a_n}的通项公式；
（2）、由（1）中求得的数列{a_n}的通项公式将an分成两部分，2ⁿ和（n-1）3ⁿ先求出（n-1）3ⁿ的前n项和Tn，然后加上2ⁿ的前n项和便可求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ（n∈N^*）
可得

an+1

3n+1

-

an

3n

=1-

1

3

(

2

3

)n（2分）
令

an

3n

=bn，则bn+1-bn=1-

1

3

(

2

3

)n（3分）
∴当n≥2时，b_n-b_n-1+b_n-1-b_n-2+…+b₃-b₂+b₂-b₁=(n-1)-

1

3

[(

2

3

)+(

2

3

)2++(

2

3

)n-1]（5分）
=(n-1)-

2

3

[1-(

2

3

)n-1]
∴bn=b1+(n-1)-

2

3

[1-(

2

3

)n-1]bn=(n-1)+(

2

3

)n（6分）
∴a_n=3ⁿb_n=2ⁿ+（n-1）3ⁿ（7分）
（2）令T_n=3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-2）3^n-1+（n-1）3ⁿ，①（8分）
    3T_n=3³+2•3⁴+3•3⁵+…+（n-2）3ⁿ+（n-1）3ⁿ⁺¹②（9分）
①式减去②式得：-2Tn=32+33+…+3n-(n-1)3n+1=

3n+1-32

2

-(n-1)•3n+1，（10分）
∴Tn=

(n-1)3n+1

2

-

3n+1-32

4

=

(2n-3)•3n+1+9

4

．（12分）
∴数列{a_n}的前n项和Sn=

(2n-3)3n+2+9

4

+2n+1-2=

(2n-3)3n+1+2n+3+1

4

．（14分）

点评：本题考查的数列通项公式和前n项和的求法，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，是各地中考的热点，属于中档题．