题目内容
A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，满足
·
=0(O是原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值；
(2)直线AB过定点.
证明：设A(x1,y1)、B(x2,y2),
(1)∵·=0，∴OA⊥OB.
∴
.∴x1x2=-y1y2 ①
由
∴(y1y2)2=4p2(x1x2) ④
由①④得y1y2=-4p2且x1x2=4p2.
∴结论成立.
（2）在（1）中②-③，得（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2).
∴
∴直线AB方程为y-y1=
(x-x1).
∴y=
=
∴直线AB过定点(2p,0).
练习册系列答案
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已知A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上异于原点O的两点，则“
•
=0”是“直线AB恒过定点（2p，0）”的（ ）
| OA |
| OB |
| A、充分非必要条件 |
| B、充要条件 |
| C、必要非充分条件 |
| D、非充分非必要条件 |
[理]已知A、B是抛物线y2=4x上两点，且
•
=0，则原点O到直线AB的最大距离为（ ）
| OA |
| OB |
| A、2 | B、3 | C、4 | D、8 |