题目内容

某商场共五层，从五层下到四层有3个出口，从三层下到二层有4个出口，从二层下到一层有4个出口，从一层走出商场有6个出口．安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层的安保工作．假设每名警员到该层各出口处的时间相等，某罪犯在五楼犯案后，欲逃出商场，各警员同时接到指令，选择一个出口进行围堵．逃犯在每层选择出口是等可能的．已知他被三楼警员抓获的概率为
19
．
（Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？
（Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网．设抓到逃犯时，他已下了ξ层楼，写出ξ的分布列，并求Eξ．
分析：（I）设四层下到三层有n个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇，则在第5层，4层，3层分别被同层警员抓获的概率分别为
1
3
，
1
n
，
1
4
，于是可得(1-
1
3
)(1-
1
n
)×
1
4
=
1
9
，解得n即可．
（II）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．则P（ξ=0）=
1
3
，P（ξ=1）=(1-
1
2
)×
1
3
，P（ξ=2）=(1-
1
3
)×(1-
1
3
)×
1
4
，P（ξ=3）=(1-
1
3
)×(1-
1
3
)×(1-
1
4
)×
1
4
，P（ξ=4）=(1-
1
3
)×(1-
1
3
)×(1-
1
4
)×(1-
1
4
)×
1
6
，利用分布列的性质可得P（ξ=5）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）即可得出分布列和数学期望．
解答：解：（I）设四层下到三层有n个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇．
∴(1-
1
3
)(1-
1
n
)×
1
4
=
1
9
，解得n=3．
（II）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．
p(ξ=0)=
1
3
，p(ξ=1)=(1-
1
3
)×
1
3
=
2
9
，p(ξ=2)=(1-
1
3
)(1-
1
3
)×
1
4
=
1
9
；p(ξ=3)=(1-
1
3
)(1-
1
3
)(1-
1
4
)×
1
4
=
1
12
，p(ξ=4)=(1-
1
3
)(1-
1
3
)(1-
1
4
)(1-
1
4
)×
1
6
=
1
24
，p(ξ=5)=1-
1
3
-
2
9
-
1
9
-
1
12
-
1
24
=
5
24

所以分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
p
1
3
2
9
1
9
1
12
1
24
5
24
Eξ=0×
1
3
+1×
2
9
+2×
1
9
+3×
1
12
+4×
1
24
+5×
5
24
=
137
72
．
点评：本题考查了相互独立事件和对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望等基础知识与基本方法，属于难题．
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（Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？

（Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网。设抓到逃犯时，他已下了层楼，写出的分布列，并求。

 

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