题目内容
某商场共五层，从五层下到四层有3个出口，从三层下到二层有4个出口，从二层下到一层有4个出口，从一层走出商场有6个出口．安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层的安保工作．假设每名警员到该层各出口处的时间相等，某罪犯在五楼犯案后，欲逃出商场，各警员同时接到指令，选择一个出口进行围堵．逃犯在每层选择出口是等可能的．已知他被三楼警员抓获的概率为
．
（Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？
（Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网．设抓到逃犯时，他已下了ξ层楼，写出ξ的分布列，并求Eξ．
| 1 | 9 |
（Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？
（Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网．设抓到逃犯时，他已下了ξ层楼，写出ξ的分布列，并求Eξ．
分析：（I）设四层下到三层有n个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇，则在第5层，4层，3层分别被同层警员抓获的概率分别为
，
，
，于是可得(1-
)(1-
)×
=
，解得n即可．
（II）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．则P（ξ=0）=
，P（ξ=1）=(1-
)×
，P（ξ=2）=(1-
)×(1-
)×
，P（ξ=3）=(1-
)×(1-
)×(1-
)×
，P（ξ=4）=(1-
)×(1-
)×(1-
)×(1-
)×
，利用分布列的性质可得P（ξ=5）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）即可得出分布列和数学期望．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 9 |
（II）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．则P（ξ=0）=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
解答：解：（I）设四层下到三层有n个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇．
∴(1-
)(1-
)×
=
，解得n=3．
（II）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．
p(ξ=0)=
，p(ξ=1)=(1-
)×
=
，p(ξ=2)=(1-
)(1-
)×
=
；p(ξ=3)=(1-
)(1-
)(1-
)×
=
，p(ξ=4)=(1-
)(1-
)(1-
)(1-
)×
=
，p(ξ=5)=1-
-
-
-
-
=
所以分布列为
Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
+5×
=
．
∴(1-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 9 |
（II）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．
p(ξ=0)=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 24 |
| 5 |
| 24 |
所以分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||||||||||||
| p |
|
|
|
|
|
|
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 24 |
| 5 |
| 24 |
| 137 |
| 72 |
点评：本题考查了相互独立事件和对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望等基础知识与基本方法，属于难题．
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