Question

若正数项数列的前项和为，首项，点在曲线上.
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）设,表示数列的前项和,若恒成立，求及实数的取值范围.

Answer 1

（1），.；（2）；（3），.

解析试题分析：（1）分别取和，可求；（2）将点P代入曲线方程，化简，可得：，从而数列是以为首项，1为公差的等差数列，可求得；（3）用裂项相消法可求解.
试题解析：（1）因为点在曲线上，所以.
分别取和，得到，
由解得，.
（2）由得.
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列
所以，  即
由公式，得
所以
（3）因为，所以，



显然是关于的增函数， 所以有最小值
由于恒成立，所以，
于是的取值范围为.
考点：（1）数列前n项和与通项公式之间的关系；（2）等差数列的证明，等差数列的通项公式；（3）裂项相消法.