Question

【题目】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.

（1）证明：为定值，并写出点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，为坐标原点，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析，轨迹方程为;(2).

【解析】试题分析：⑴求得圆的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得，再由圆的定义和椭圆的定义可得的轨迹是以为焦点的椭圆，求得，即可得到所求轨迹方程；

⑵设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得，由到直线距离求出，再由三角形的面积公式化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围；

解析：（1）证明：因为，

故，所以，

故，

又圆的标准方程为，从而

由椭圆定义可得点的轨迹方程为.

（2）当直线与轴不垂直时，设的方程为，

由得，

则，

所以

到直线距离为，则，

则

令，则

则

，

易知，

∴

当与轴垂直时，，综上.