Question

已知函数f（x）=x²-mx-lnx，m∈R
（1）若m=2，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若m≥1，函数在f（x）在x=x₀处取得极值，求证：1≤x₀≤m．

Answer 1

（1）当m=2时，f（x）=x²-2x-lnx，
定义域为{x|x＞0}（2分）
则h′(x)=2x-

1

x

-2=

2x2-2x-1

x

≥0，（4分）
解得x≥

1+ 3

2

（5分）
所以函数h（x）的单调增区间为[

1+ 3

2

，+∞)（6分）
（2）∵x＞0，f′(x)=2x-m-

1

x

=

2x2-mx-1

x2

=0，等价于：2x²-mx-1=0，
此方程有且只有一个正根为x0=

m+ m2+8

4

，
且当x∈（0，x₀）时，h'（x）＜0；当x∈（x₀，+∞）时，h'（x）＞0，
则函数f（x）=x²-mx-lnx在x=x₀处取得极值．
当m≥1时，x0=

m+ m2+8

4

关于m在[1，+∞）递增，x0=

m+ m2+8

4

≥

1+ 12+8

4

=1．
要证x₀≤m，即证

m+ m2+8

4

≤m，
也即m+

m2+8

≤4m，

m2+8

≤3m，
∵

m2+8

＞0，3m＞0，
只要m²+8≤9m²，8≤8m²，1≤m²，
只需m≥1，该式显然成列，所以结论成立．