Question

在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；

（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析（2）见解析

【解析】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力。

（Ⅰ）欲证EF∥平面CB₁D₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB₁D₁内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B₁D₁，又B₁D₁⊂平面CB₁D₁，EF⊄平面CB₁D₁，满足定理所需条件；

（Ⅱ）欲证平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB₁D₁内一直线与平面CAA₁C₁垂直，而AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，则AA₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，满足线面垂直的判定定理则B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，而B₁D₁⊂平面CB₁D₁，满足定理所需条件．

解：（1）证明:连结BD.

在长方体中，对角线.

又 E、F为棱AD、AB的中点，

 .

 .

又B₁D₁平面，平面，

  EF∥平面CB₁D₁.                  

（2） 在长方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

 AA₁⊥B₁D₁.

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.

又 B₁D₁平面CB₁D₁，

平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．