Question

（2007•武汉模拟）正四棱锥S-ABCD内接于一个半径为R的球，那么这个正四棱锥体积的最大值为

64

81

R³

．

Answer 1

分析：先设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为h=R+x
从而得出正四棱锥体积关于x函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值即可．

解答：解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x
则：x2+(

2

2

a) 2=R 2
而正四棱锥的高为h=R+x
故正四棱锥体积为：
V（x）=

1

3

×a2h=

1

3

×a2(R+x)=

2

3

(R 2-x 2)(R+x)
其中x∈（0，R）
∵

2

3

(R 2-x 2)(R+x) =

1

3

(2R-2x)(R+x)(R+x)≤

1

3

×(

(2R-2x)+(R+x)+(R+x)

3

)  3=

64

81

R³
当且仅当x=

1

3

R时，等号成立
那么这个正四棱锥体积的最大值为：

64

81

R³
故答案为：

64

81

R³

点评：本题主要考查了球内接多面体、棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．