Question

（2012•温州二模）若直线l同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线l为该三角形的“Hold直线”，已知△ABC的三边之长分别为6、8、10，则△ABC的“Hold直线”（　　）

A．存在一条

B．存在两条

C．存在无数条

D．不存在

Answer 1

分析：根据勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．应分情况讨论：（1）若直线过△ABC的某个顶点；（2）若直线交△ABC的某两条边，把这2种情况的直线数相加即得所求．

解答：解：（1）若直线过△ABC的某个顶点．如图，
假设直线过点A．如果直线平分△ABC的面积，则有BN=NC，此时，AC＞AB，
所以周长相等不可能．同理直线过B、C也不存在．
（2）若直线交AB、BC于点M、N．如图，设AB=6，AC=8，BC=10．
设BN=x，则BM=12-x，作MD⊥BC，
由Rt△MBD∽Rt△ABC，可得MD=

8(12-x)

10

．
根据S_△MBN=

1

2

MD•BN=

1

2

S_△ABC，
可得BN=6+

6

，BM=6-

6

；
或者BN=6-

6

 且BM=6+

6

（不合题意，舍去）．
即这样的直线存在，且只有一条，
综上，同时平分这个三角形周长和面积的直线有1条．
故选A．

点评：此题主要分情况考虑．分析的时候，首先保证符合其中一个条件，再进一步看是否满足另一个条件，
属于基础题．