Question

如图，PC⊥平面ABC，PM∥CB，∠ACB＝120°，PM＝AC＝1，BC＝2，异面直线AM与直线PC所成的角为60°.

（Ⅰ）求二面角M－AC－B大小的正切值；

（Ⅱ）求三棱锥P－MAC的体积.

Answer 1

（1）（2）

解析:

方法一：（Ⅰ）取BC的中点N，连结MN.

由已知，PMCN，则MNPC，所以MN⊥平面ABC.                            

过点N作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连结MH，

由三垂线定理知，AC⊥MH.

所以∠MHN为二面角M－AC－B的平面角.                                     

连结AN，在△ACN中，由余弦定理，得.

由已知∠AMN＝60°，在Rt△ANM中，.                        

在Rt△CHN中，.                                      

在Rt△MNH中，.

故二面角M－AC－B的正切值是.                                         

（Ⅱ）因为四边形PCNM为正方形，MN⊥平面ABC，则

.         

方法二：（Ⅰ）在平面ABC内，过点C作CB的垂线，

按如图所示建立空间直角坐标系.                                     

设点，由已知可得，点，

，则.

因为直线AM与直线PC所成的角为60°，则

，即.

解得z₀＝1，从而.                             

 设平面MAC的一个法向量为n，则，即.

取，则n.                                                

又m＝(0，0，1)为平面ABC的一个法向量，设向量m与n的夹角为θ，则.

从而，.                                            

显然，二面角M－AC－B的平面角为锐角，故二面角M－AC－B的正切值是.  

（Ⅱ）因为a＝(1，0，0)为平面PCM的一个法向量，，则

点A到平面PCM的距离.                                     

又PC＝PM＝1，则.