Question

如图，PC⊥平面ABC，∠ACB=90°，D为AB中点，AC=BC=PC=2。

（1）求异面直线PD与BC所成角的大小；
（2）设M为线段PA上的点，且AP=4AM，求点A 到平面BCM的距离。

Answer 1

解：（1）如图，取AC的中点E，连结DE、PE，则DE∥BC， 所以∠PDE（或其补角）为异面直线PD与BC所成的角， 因为BC∥DE，AC⊥BC，所以AC⊥DE； 又PC⊥平面ABC，DE平面ABC，所以PC⊥DE， 因为AC∩PC=C，所以DE⊥平面PAC， 因为PE平面PAC，所以DE⊥PE， 在Rt△ABC中，因为AC=BC=2，所以AB=2， 在Rt△PCD中，因为PC=2，CD=AB=，所以PD=， 在Rt△PDE中，因为DE=BC=1，所以cos∠PDE=， 即异面直线PD与BC所成的角为arccos。 （2）因为BC⊥AC，BC⊥PC，AC∩PC =C，所以BC⊥平面PAC，即BC⊥平面PCM， 又BC平面BCM， 所以平面PCM⊥平面BCM， 过点A作AN⊥CM交CM于N，则AN⊥平面BCM， 在Rt△PAC中，AC=PC=2，所以AP=2， 又AP=4AM，所以AM=， △ACM中，∠MAC=45°， 所以CM==， 过M作MG⊥AC交AC于G，MG=AMsin45°=， 由MG·AC=AN·CM，得AN=， 所以，点A到平面BCM的距离为。