Question

已知定义在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的奇函数满足：①f（3）=1；②对任意的x＞2均有f（x）＞0；③对任意的x＞0，y＞0，均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1）．
（1）求f（2）的值；
（2）证明：f（x）在（1，+∞）上为增函数．
（3）是否存在实数a，使得f（cos²θ+asinθ）＜3对任意的θ∈（0，π）恒成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据对任意的正实数x，y都有均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1），令x=1，y=1，即可求出f（2）的值；
（2）由于函数没有具体解析式，要证其在（1，+∞）上为增函数，只能从条件；②对任意的x＞2均有f（x）＞0和条件③对任意的x＞0，y＞0，均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1）入手，取x=x₁-1，y=

x2-1

x1-1

代入条件③，整理变形后借助于条件②可证出结论．
（3）令x=2，y=2，代入求得f（5），令x=2，y=4，代入求得f（9），又f(8+1)+f(

1

8

+1)=f(8

1

8

+1)=0，可得f(-

9

8

)=3，根据条件②判断函数的单调性，根据已知条件把f（cos²θ+asinθ）＜3化为cos2θ+asinθ＜-

9

8

或1＜cos²θ+asinθ＜9，对任意的θ∈（0，π）恒成立，换元和分离参数即可求得a的范围．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（2）=0；
（2）任取x₁＞1，x₂＞1，且x₂＞x₁则有f(x1)+f(

x2-1

x1-1

+1)=f(x1-1+1)+f(

x2-1

x1-1

+1)
=f((x1-1)

x2-1

x1-1

+1)=f（x₂）．而

x2-1

x1-1

+1＞1+1=2，
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在（1，+∞）是增函数；
（3）由（2）及f（x）是奇函数得，∴f（x）在（-∞，-1）上是增函数．
令x=y=2有f（5）=2，令x=2，y=4有f（9）=3．
又f(8+1)+f(

1

8

+1)=f(8

1

8

+1)=0，∴f(-

9

8

)=3，
则f（x）＜3的解集为(-∞，-

9

8

)∪(1，9)．
于是问题等价于是否存在实数a，使cos2θ+asinθ＜-

9

8

或1＜cos²θ+asinθ＜9对任意的θ∈（0，π）恒成立，
令t=sinθ，则t∈（0，1]，对于cos2θ+asinθ＜-

9

8

恒成立化为t2-at-

17

8

＞0，在t∈（0，1]上恒成立，
即a＜t-

17

8t

在t∈（0，1]上恒成立．而t→0时，t-

17

8t

→-∞，
故不存在存在实数a，使cos2θ+asinθ＜-

9

8

恒成立．
对于1＜cos²θ+asinθ＜9对任意的θ∈（0，π）恒成立等价于

t2-at+8＞0 t2-at＜0

在t∈（0，1]上恒成立．
t²-at+8＞0，t∈（0，1]?a＜t+

8

t

，易得a＜9．而t²-at＜0知a＞t所以a＞1．
综合以上有当1＜a＜9使得f（cos²θ+asinθ）＜3对任意的θ∈（0，π）恒成立．

点评：此题是个难题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法．特别是问题（3）的设问形式，增加了题目的难度，综合性强．