Question

命题p：?x∈R，x²+1＞a，命题q：

x2

a2

+

y2

4

=1是焦点在x轴上的椭圆，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求得命题p、q为真时a的取值范围，根据复合命题真值表得：若p∨q为真，p∧q为假，则命题p、q一真一假，分p真q假和q真p假两种情况求出a的范围，求并集．

解答：解：∵x²+1≥1，
∴命题p为真命题时，a＜1；
∵

x2

a2

+

y2

4

=1是焦点在x轴上的椭圆，则a²＞4，即：a＞2或a＜-2
若q为真命题时，a＞2或a＜-2，
由复合命题真值表得：若p∨q为真，p∧q为假，则命题p、q一真一假，
当p真q假时，则

a＜1 -2≤a≤2

⇒-2≤a＜1；
当q真p假时，则

a≥1 a＞2或a＜-2

⇒a＞2，
综上有：-2≤a＜1或a＞2．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了椭圆的标准方程，全称命题，关键是求得命题p、q为真时a的取值范围，属于基础题．