题目内容

求函数f（x）= $数学公式$ 在x∈[0，1]上的最大值和最小值．

解：由于f（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 在[0，1]上是减函数，
故当x=0时，函数取得最大值为f（0）=3；
当x=1时，函数取得最小值为f（1）= $\text{[math]}$ ．
分析：由于f（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 在[0，1]上是减函数，从而求得函数[0，1]上的最大值和最小值．
点评：本题主要考查指数函数的单调性的应用，属于中档题．

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已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）已知函数f（x）=x²，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；
（3）已知b＞0，函数f（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

设g（x）=2x+

，4]．
（1）求g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）
（2）证明g（x）的最小值为g（

）；
（3）设已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-

]，则f₁（x）=-1，x∈[-

]，f₂（x）=sinx，x∈[-

]，设φ（x）=

，不等式p≤φ₁（x）-φ₂（x）≤m恒成立，求p、m的取值范围．

（1）求函数f（x）=e^x在x=0处的切线方程．
（2）x∈R，证明不等式e^x≥x+1．

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（2）设函数q(x)=

是否存在实数k，对任意给定的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=lnx-ax+a（a∈R，x＞0）
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立．
（i）求a的取值范围；
（ii）设n为给定不小于4的正整数，当m＞n时，求证：