Question

在△ABC中，已知|AB|=2，

|BC|2

|CA|2

=

1

2

，则△ABC面积的最大值为

2

2

．

Answer 1

分析：由题意可得：|AC|=

2

|BC|，设△ABC三边分别为2，a，

2

a，三角形面积为S，根据海仑公式得：16S²=-a⁴+24a²-16=-（a²-12）²+128，再结合二次函数的性质求出答案即可．

解答：解：由题意可得：|AC|=

2

|BC|，
设△ABC三边分别为2，a，

2

a，三角形面积为S，
所以设p=

2+a+ 2 a

2

所以根据海仑公式得：S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

=

(a+ 2 a)2-4

4

•

4-( 2 a-a)2

4

，
所以16S²=-a⁴+24a²-16=-（a²-12）²+128，
当a²=12时，即当a=2

3

时，△ABC的面积有最大值，并且最大值为2

2

．
故答案为2

2

．

点评：本题主要考查海仑公式，以及二次函数的有关性质，此题对学生的运算能力要求较高，属于中档题．