Question

（1）已知定点、，动点N满足（O为坐标原点），，，，求点P的轨迹方程.

（2）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，

（ⅰ）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；
（ⅱ）当点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）定点或.

试题分析：（Ⅰ）由题意，先确定点N是MF₁中点，然后由确定|PM|=|PF₁|，从而得到|∣PF₁|-|PF₂∣|=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|，再根据双曲线的几何性质，即可得到点P的轨迹方程；（2）（ⅰ）设出点，由斜率公式得到的表达式，再根据点在椭圆上，得到其为定值；（ⅱ）将以为直径的圆上任一点坐标设出，即设点，再根据过直径的弦所对的圆周角为直角这一几何性质得到，从而得到点的轨迹方程也即以为直径的圆的方程为
.因为的系数有参数，故，从而得到圆上定点或.即得到所求.
试题解析：（Ⅰ）连接ON∵ ∴点N是MF₁中点 ∴|MF₂|=2|NO|=2
∵ ∴F₁M⊥PN   ∴|PM|=|PF₁|
∴|∣PF₁|-|PF₂∣|=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|
由双曲线的定义可知：点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线.
点P的轨迹方程是  4分
（ⅰ），，令，则由题设可知，
直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，所以
，（），从而有.8分
（ⅱ）设点是以为直径的圆上任意一点，则，又易求得、.所以、.故有
.又，化简后得到以为直径的圆的方程为
.
令，解得或.
所以以为直径的圆恒过定点或.