Question

已知a，b，c∈R，且a＜b＜c，函数f（x）=ax²+2bx+c满足f（1）=0，f（t）=-a，（t∈R且t≠1）
（Ⅰ）求证：a＜0，c＞0；
（Ⅱ） 求

b

a

的取值范围．

Answer 1

分析：函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=0，则a+2b+c=0．
（1）根据a＜b＜c，得到4a＜a+2b+c=0＜4c，故有a＜0，c＞0
（2）由（1）知，c=-a-2b，则-

1

3

＜

b

a

＜1，
又由f（t）=-a，得到△=4b²+8ab≥0，进而判断出

b

a

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）证：∵f（x）=ax²+2bx+c
∴f（1）=a+2b+c=0
又a＜b＜c∴4a＜a+2b+c＜4c
即4a＜0＜4c∴a＜0，c＞0
（Ⅱ） 解：由（1）得：c=-a-2b代入a＜b＜c
结合a＜0知：-

1

3

＜

b

a

＜1…（2）
将c=-a-2b代入at²+2bt+c=-a得at²+2bt-2b=0，
即方程ax²+2bx-2b=0有实根，
故△=4b2+8ab≥0∴(

b

a

)2+2(

b

a

)≥0 ∴

b

a

≤-2或

b

a

≥0…（3）
联立（2）（3）知0≤

b

a

＜1
所以，所求

b

a

的取值范围是[0，1）

点评：本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化．