题目内容

对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

（Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

(1) 求证：是数列的母函数；

(2)求数列的前项和.

（Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

解：（Ⅰ）(1)由题知，且

.

是数列的母函数；

(2) 由(1) 知：是首项和公差均为的等差数列，故.

　　　　　 ①

　　　 ②

①-②得：.

.

（Ⅱ）由题知：，.

.

从而是以为首项，为公比的等比数列.

.

又

故当时，有：

.

练习册系列答案
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对于无穷数列{xn}和函数f（x），若xn+1=f（xn）（n∈N+），则称f（x）是数列{xn}的母函数．
（Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且g(
1
2
)=1；又数列{an}满足：an=g(
1
2n
)．
求证：（1）f（x）=x+2是数列{2nan}的母函数；
（2）求数列{an}的前项n和Sn．
（Ⅱ）已知f(x)=
2012x+2
x+2013
是数列{bn}的母函数，且b1=2．若数列{
bn-1
bn+2
}的前n项和为Tn，求证：25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．

对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

（Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

求证：(1)是数列的母函数；

(2)求数列的前项和.

（Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

 

对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

（Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

(1)  求证：是数列的母函数；

(2)求数列的前项和.

（Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

（Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

(1)  求证：是数列的母函数；

(2)求数列的前项和.

（Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

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