Question

(本小题满分12分)已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）

本试题主要考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。
（1）中利用已知的椭圆的性质得到a,b，c的关系式，解得椭圆方程。
（2）中联立直线与椭圆的方程组，借助于韦达定理，和OM垂直于ON，得到关系式，从而得到结论。
解：（Ⅰ）由题意得，得.         ………………2分
结合，，.                   ………………3分
所以，椭圆的方程为.                          ………………4分
（Ⅱ）由 得.
设.
所以，                         ………………6分
依题意，，
易知，四边形为平行四边形，
所以，                                        ………………7分
因为，，
所以.  ………………8分
即 ，                           ……………9分
将其整理为 .         ………………10分
因为，所以，.    ………………11分
所以，即.