Question

（2012•梅州二模）己知点A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）．
（1）若(

OA

+2

OB

)•

OC

=1，其中O为坐标原点，求sin2θ的值；
（2）若|

AC

|=|

BC

|，且θ在第三象限．求sin（θ+

π

3

）值．

Answer 1

分析：（1）由 (

OA

+2

OB

)•

OC

=1解得sinθ+cosθ=

1

2

，平方求得sin2θ 的值．
（2）由 |

AC

|=|

BC

|，且θ在第三象限可得sinθ=-

5

5

，cosθ=-

2 5

5

，再利用两角和的正弦公式求得 sin（θ+

π

3

）的值．

解答：解：（1）∵(

OA

+2

OB

)•

OC

=（1，2）•（2sinθ，cosθ）=2sinθ+2cosθ=1，
∴sinθ+cosθ=

1

2

，∴（sinθ+cosθ）²=1+sin2θ=

1

4

，故sin2θ=-

3

4

．
（2）∵

AC

=（2sinθ-1，cosθ），

BC

=（2sinθ，cosθ-1），|

AC

|=|

BC

|，且θ在第三象限
∴（2sinθ-1）²+cos²θ=（2sinθ）²+（cosθ-1）²，
解得 sinθ=-

5

5

，cosθ=-

2 5

5

．
∴sin（θ+

π

3

）=sinθcos

π

3

+cosθsin

π

3

=

5 +2 15

10

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的坐标运算，两个向量数量积公式，属于中档题．