Question

已知，其中a，b，x∈R．若f（x）=满足f（）=2，且f（x）的图象关于直线x=对称．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，]上总有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，f（x）=，我们根据平面向量数量积公式，可以得到函数的解析式，（含参数a，b），进而根据f（）=2，且f（x）的图象关于直线x=对称．我们可以构造关于a，b的方程，解方程即可求出a，b的值．
（II）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，]上总有实数解，我们可以求出函数f（x）在区间[0，]上的值域，构造一个对数不等式，解不等式即可求出实数k的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）=
由得，①
∵f（x）的图象关于对称，∴∴②
由①、②得，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=
∵，，
∴，f（x）∈[0，3]．
又∵f（x）+log₂k=0有解，即f（x）=-log₂k有解，
∴-3≤log₂k≤0，解得，即．
点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）解析式的求法，正弦型函数的值域，及对数的性质，其中根据已知求出函数f（x）的解析式是解答本题的关键．