Question

已知，其中a，b，x∈R．若满足，且f（x）的导函数f'（x）的图象关于直线对称．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，，我们可以求出函数的解析式，及导函数的解析式（含参数a，b），结合已知中，，导函数f'（x）的图象关于直线对称，构造关于a，b的方程组，解方程组，即可求出a，b的值．
（II）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间上总有实数解，即f（x）=-log₂k有解，求出函数f（x）在区间上的值域B，再根据-log₂k∈B，构造关于k的对数方程，解方程即可求出答案．
解答：解：（Ⅰ）=
由得，①
∵f'（x）=asin2x+bcos2x，又∵f'（x）的图象关于直线对称，∴，
∴，即②
由①、②得，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=
∵，，
∴，f（x）∈[0，3]．
又∵f（x）+log₂k=0有解，即f（x）=-log₂k有解，
∴-3≤log₂k≤0，解得，即．
点评：本题考查的知识点是正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，函数恒成立问题，数量积的坐标表达形式（1）的关键是根据已知条件，构造关于a，b的方程组，（2）的关键是求出函数f（x）在区间上的值域B．