Question

如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD将△ABD翻折，使得ADC=30°，得几何体B-ACD．
（1）求证：AC⊥平面BCD；
（2）求二面角D-AB-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BD⊥AD，BD⊥CD，知BD⊥平面ACD，所以AC⊥BD，在△ACD中，∠ADC=30°，AD=2，CD=，由余弦定理，得∠ACD=90°，由此能够证明AC⊥平面BCD．
（2）在△BCD中，过D作DO⊥BC于O，则AC⊥DO，所以DO⊥平面ABC，在△ABC中，过O作OE⊥AB于E，连接DE，则AB⊥平面ODE，故∠DEO为二面角D-AB-C的平面角，由此能求出二面角D-AB-C的余弦值．
解答：（1）证明：∵BD⊥AD，BD⊥CD，AD∩CD=D，
∴BD⊥平面ACD．
又∵AC?平面ACD，∴AC⊥BD，①
在△ACD中，∠ADC=30°，AD=2，CD=，
由余弦定理，得AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC=1，
∵AD²=CD²+AC²，∴∠ACD=90°，
即AC⊥CD，②
由①②及BD∩CD=D，得AC⊥平面BCD．
（2）解：在△BCD中，过D作DO⊥BC于O，则AC⊥DO，
∴DO⊥平面ABC，
在△ABC中，过O作OE⊥AB于E，连接DE，
则AB⊥平面ODE，
∴∠DEO为二面角D-AB-C的平面角，
在Rt△ABD中，∵BD=1，BC=AD=2，
∴AB=，DE==，
在Rt△BCD中，DO==，
∴OE===，
∴cos∠DEO==，
∴二面角D-AB-C的余弦值为．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角D-AB-C的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的合理运用．