题目内容

已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A（ $数学公式$ ，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A′与A点关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为 $数学公式$ ，试求k的值及此时B点的坐标．

解：（1）设双曲线的渐近线为y=kx，由d= $\text{[math]}$ =1，解得k=±1
即渐近线为y=±x，又点A关于y=x对称点的坐标为（0， $\text{[math]}$ ）
∴a= $\text{[math]}$ =b，所求双曲线C的方程为x²-y²=2．
（2）设直线ly=k（x- $\text{[math]}$ ）（0＜k＜1），
依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为 $\text{[math]}$
设直线l′y=kx+m，应有 $\text{[math]}$ ，
化简得m₂+2 $\text{[math]}$ km=2②
把l′代入双曲线方程得（k₂-1）x₂+2mkx+m₂-2=0，
由△=4m₂k₂-4（k₂-1）（m₂-2）=0
可得m₂+2k₂③
②、③两式相减得k= $\text{[math]}$ m，代入③得m₂= $\text{[math]}$ ，解得m= $\text{[math]}$ ，k= $\text{[math]}$ ，
此时x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，故B（2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）设双曲线的渐近线为y=kx，由d= $\text{[math]}$ =1，解得k=±1，再由点A关于y=x对称点的坐标为（0， $\text{[math]}$ ），能求出双曲线C的方程．
（2）设直线ly=k（x- $\text{[math]}$ ）（0＜k＜1），依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为 $\text{[math]}$ ，设直线l′y=kx+m，应有 $\text{[math]}$ ，由此能求出k的值及此时B点的坐标．
点评：本题考查轨迹方程的求法和求k的值及此时B点的坐标．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．