题目内容

函数y=f（x）的图象与直线x=a，y=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0， $数学公式$ ]上的面积为 $数学公式$ ，则（1）函数y=sin3x在[0， $数学公式$ ]上的面积为，（2）函数y=sin（3x-π）在 $数学公式$ 上的面积为．

解：（1）∵函数y=sinnx在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积为 $\text{[math]}$ （n∈N⁺），
∴对于函数y=sin3x而言，
n=3，
∴函数y=sin3x在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积为：
$\text{[math]}$
则函数y=sin3x在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）设t=x- $\text{[math]}$ ，t∈[0，π]，则y=sin3t+1，
∴y=sin（3x-π）+1在[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的面积为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．
分析：（1）函数y=sinnx与函数y=sin3x类比，可以得出函数y=sin3x在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积，得出函数y=sin3x在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积是函数y=sin3x在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积的两倍，从而得出函数y=sin3x在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积．
（2）设t=x- $\text{[math]}$ ，t∈[0，π]，则y=sin3t+1，同理可求．
点评：本小题主要考查类比推理、三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

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已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，

），试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性．

已知函数f（x）=

，（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）条件下，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切，求实数k的值．

把函数y=lnx-2的图象按向量

=（-1，2）平移得到函数y=f（x）的图象．
（1）若x＞0，证明；f（x）＞

；
（2不等式

x²≤f（x²）+m²-2bm-3对b∈[-1，1]，x∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

（文）设函数y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．
（Ⅰ）若a≠b，ab≠0，过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线，此直线与函数y=f（x）的图象交于点P（x₀，f（x₀）），求证：函数y=f（x）在点P处的切线过点（

，0）；
（Ⅱ）若a=b（a≠0），且当x∈[0，|a|+1]时f（x）＜2a²恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出关于f（x）的下列命题：

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	2	0	2	1

①函数y=f（x）在x=2取到极小值；
②函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数；
③当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；
④如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．
其中所有正确命题是

（写出正确命题的序号）．