Question

已知函数f（x）=

1+alnx

x

，（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）条件下，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）根据极值的定义可得f′（1）=0求出a的值然后再回代到题中利用极值的定义判断函数f（x）是否在x=1处取得极值以免产生增根．
（2）设切点A（x₀，y₀）根据直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切和导数的几何意义可得k=f′（x₀）再根据k=k_OA建立关于x₀的等式然后求出x₀（要注意其大于0）进而求出k

解答：解：（1）∵f（x）=

1+alnx

x

∴f′（x）=

a-1-alnx

x2

∵函数f（x）在x=1处取得极值
∴f′（1）=a-1=0
∴a=1
经检验，a=1时f′（x）=-

lnx

x2

故0＜x＜1时f′（x）＞0，x＞1时f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减故f（x）在x=1处取得极值．
∴a=1
（2）由（1）可知a=1
∴f（x）=

1+lnx

x

∴f′（x）=-

lnx

x2

设切点A（x₀，y₀）
∴k=f′（x₀）=-

Inx0

x 2 0

又∵k=k_OA=

1+lnx0

x02

∴

1+Inx0

x 2 0

=-

Inx0

x 2 0

∴lnx₀=-

1

2

∴x0= e-

1

2

∴k=k_OA=

1+lnx0

x02

=

1- 1 2

(e- 1 2 )2

=

e

2

点评：本题主要考查了函数极值的概念已及导数的几何意义的应用，属常考题，较难．解题的关键是在第二问中根据直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切和导数的几何意义得出k=f′（x₀）而直线y=kx有过原点故k=k_OA从而建立了关于x₀的等式

1+Inx0

x 2 0

=-

Inx0

x 2 0

但要注意x₀＞0！