Question

已知：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1.

(Ⅰ) 求证：BC∥平面PAD；

(Ⅱ)若E、F分别为PB、AD的中点，求证：EF⊥平面PBC；

(Ⅲ)求二面角B-PA-C的余弦值. 

Answer 1

方法1：

(Ⅰ)解：因为ABCD是正方形，

所以BC∥AD.

因为AD平面PAD，BC平面PAD，

所以BC∥平面PAD.    

(Ⅱ)

证明：因为PD⊥底面ABCD，

且ABCD是正方形，

所以PC⊥BC.

设BC的中点为G，

连结EG，FG，则EG∥PC，FG∥DC.

所以BC⊥EG，BC⊥FG.

因为 EG∩FG=G，

所以BC⊥面EFG.

因为EF面EFG，

所以BC⊥EF.                ①  

又设PC的中点为H，且E为PB中点，

连结DH，

所以EHBC.

又BCAD，且EHAD.

所以四边形EHDF是平行四边形.

所以EF∥DH.

因为等腰直角△PDC中，H为底边PC的中点，

所以DH⊥PC，即EF⊥PC.     ②

因为PC∩BC=C，              ③

由①②③知EF⊥平面PBC.  

（②的证明也可以通过连结PF、FB，由△PFB为等腰三角形证明）

(Ⅲ)（理科）

解法1：

设PA的中点为M，连结MC，

依条件可知△PAC中PC=AC，

所以MC⊥PA.      ①

又PD⊥平面ABCD，∠BAD=90°，

所以AB⊥PA.

因为M、E均为中点，

所以ME∥AB.

所以ME⊥PA.      ②

由①②知∠EMC为所求二面角的平面角.

连结EC，在△MEC中，容易求出ME=，MC=，EC=. 

所以cos∠EMC==，即所求二面角的余弦值是.

解法2：

过点C作CS⊥平面ABCD，使CS=PD.

连结PS，SB，

因为PD，AD，DC两两垂直，且四边形

ABCD为正方形，

故容易证明几何体PAD-SBC为三棱柱.

(即以PAD为底面，以DC为高构造三棱柱

PAD-SBC)

设BS的中点为Q，PA中点为N，

连结NQ，NC.

因为ABSP为矩形，N、Q分别为中点，

所以NQ⊥PA.

又△APC中，AC=PC，N为中点，

所以NC⊥PA.

所以∠CNQ为所求二面角的平面角.

因为BC=CS，所以CQ⊥BS.

又面BCS⊥面ABSP，所以CQ⊥面ABSP.

因为NQ面ABSP，所以CQ⊥NQ.

在Rt△NCQ中，容易求出NQ=1，NC=，

所以cos∠CNQ===，即所求二面角的余弦值是.

方法2：

如图，以点D为原点O，

有向直线OA、OC、OP分别为x、y、z轴

建立空间直角坐标系.

 (Ⅰ)证明：因为=(1，0，0)，

平面PAD的一个法向量为

r_PAD=(0，1，0)，

由? r_PAD=0，可得⊥r_PAD.

于是BC∥平面PAD. 

(Ⅱ)证明：因为=(0，-，-)，=(1，0，0)，=(0，-1，1)

且?=0，?=0，CB∩CP=C，

所以EF⊥平面PBC.

（也可以证明平行于平面PBC的一个法向量）

(Ⅲ) 解：容易求出平面PAB的一个法向量为r_PAB=(，0，)，

及平面PAC的一个法向量为r_PAC=(1，1， 1)，

因为r_PAB? r_PAC=+=1，|r_PAB|=，|r_PAC|=，

所以cos<r_PAB， r_PAC>==，即所求二面角的余弦值是.