题目内容

对于函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0)，若存在实数x0，使成立，则称x0为f(x)的不动点.

(1)当a=2，b=-2时，求f(x)的不动点；

(2)若对于任何实数b，函数f(x)恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围.

思路解析：这是一道开拓思维的题目，正确理解新的定义是解题的关键.

解：∵f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0)，

(1)当a=2，b=-2时，  f(x)=2x2-x-4.设x为其不动点，即2x2-x-4=x.

则2x2-2x-4=0.  ∴x1=-1，x2=2，即f(x)的不动点是-1，2.

(2)由f(x)=x,得ax2+bx+b-2=0，  由已知，此方程有相异二实根，

Δx＞0恒成立，即b2-4a(b-2)＞0，即b2-4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立.

∴△b＜0.  ∴16a2-32a＜0.∴0＜a＜2.

评注：该题目是将变换中的“不动点”的概念应用到函数中来，起点高，落点低，情景新，是近几年新出现的题目，这种新题目可有效地考查学生对知识的理解和应用即迁移能力.

练习册系列答案
相关题目
对于函数f(x)=a-
22x+1
 (a∈R)． 
（1）探索函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a使得f（x）为奇函数．
对于函数f(x)=a-
22x+1
(a∈R)：
（Ⅰ）　是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（Ⅱ）　探究函数f（x）的单调性（不用证明），并求出函数f（x）的值域．
（2009•山东模拟）对于函数f(x)=a-
22x+1
(a∈R)．
（1）用函数单调性的定义证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
对于函数f(x)=a-
2bx+1
 （a∈R，b＞0且b≠1）
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）是否存在实数a使函数f （x）为奇函数？并说明理由．
对于函数f(x)=a-
12x+1
(a∈R)：
（1）探究函数f（x）的单调性，并给予证明；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（3）求函数f（x）的值域．

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