Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（2）求点B到平面OAC的距离．

Answer 1

分析：（1）根据CP∥AB，可知∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角），从而可求；
（2）连AC，作BP⊥AC于点P，因为OA⊥底面ABCD，所以 OA⊥BP，从而有BP⊥平面OAC，所以线段BP的长度就是点B到平面OAC的距离，从而可解．

解答：解：（1）∵CP∥AB
∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）-----------------（2分）
作AP⊥CD于P，连接MP
因为OA⊥平面ABCD，CD⊥MP，
∵∠ADP=

π

4

，所以DP=

2

2

，MD=

MA2+AD2

=

2

，
∴所以 AB与MD所成角的大小为

π

3

．------------------------------------（4分）
（2）设点B到平面OAC的距离为h，连AC，作BP⊥AC于点P，
因为OA⊥底面ABCD，所以 OA⊥BP，从而有BP⊥平面OAC，
所以线段BP的长度就是点B到平面OAC的距离，即BP=h，--------------------（2分）
由计算得AC=

2- 2

，所以h•

2- 2

=1×1×

2

2

解得  h=

2+ 2

2

，即点B到平面MCD的距离等于

2+ 2

2

-----------------（8分）

点评：本题以四棱锥为载体，考查线线角，考查点面距离，关键是作出线面角及表示点面距离的线段．