Question

20．设二次函数f（x）同时满足下列条件：①f（0）=8；②f（x-2）为偶函数；③关于x的方程f（x）=4有两个不等实根x₁，x₂，且$|{x_1}-{x_2}|=2\sqrt{2}$．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求函数f（x）的表达式；
（2）求出函数的表达式，结合一元二次函数的单调性的性质进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，∴f（0）=8，∴c=8（1分）
因为f（x-2）=a（x-2）²+b（x-2）+8=ax²-（4a-b）x+4a²-2b+8为偶函数
∴4a-b=0，即b=4a（3分）
又方程f（x）=4?ax²+4ax+4=0
由$|{x_1}-{x_2}|=2\sqrt{2}$得$\frac{{\sqrt{{{（4a）}^2}-16a}}}{|a|}=2\sqrt{2}$，解得a=2，从而b=8（5分）
∴f（x）=2x²+8x+8=2（x+2）²（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）-kx=2x²+（8-k）x+8，其对称轴为$x=\frac{k-8}{4}$（8分）
∵当x∈[-2，2]时，g（x）是单调函数
∴$\frac{k-8}{4}≤-2$或$\frac{k-8}{4}≥2$（10分）
解得k≤0或k≥16，即实数k的取值范围是（-∞，0]∪[16，+∞）．（12分）

点评 本题主要考查二次函数的解析式的求解以及一元二次函数单调性的性质的应用，考查学生的运算和推理能力．