Question

设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0）；
（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切
①求实数a，b的值；
②求函数f(x)在[

1

e

，e]上的最大值．
（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①先求出原函数的导数：f′(x)=

a

x

-2bx，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．②研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．
（2）考虑到当b=0时，f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，转化为alnx≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]恒成立问题，再令h（a）=alnx-x，则h（a）为一次函数，问题又转化为m≤h（a）_min最后利用研究函数h（x）的单调性即得．

解答：解：（1）①f′(x)=

a

x

-2bx
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切∴

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，
解得

a=1 b= 1 2

（3分）
②f(x)=lnx-

1

2

x2，f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

当

1

e

≤x≤e时，令f'（x）＞0得

1

e

≤x＜1；
令f'（x）＜0，得1＜x≤e∴f(x)在[

1

e

，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f(x)max=f(1)=-

1

2

（7分）（8分）
（2）当b=0时，f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，
则alnx≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，
即m≤alnx-x，对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，（8分）
令h（a）=alnx-x，则h（a）为一次函数，m≤h（a）_min∵x∈（1，e²]，∴lnx＞0，∴h(a)在a∈[0，

3

2

]上单调递增
∴h（a）_min=h（0）=-x，∴m≤-x对所有的x∈（1，e²]都成立，
∵1＜x≤e²，
∴-e²≤-x＜-1，∴m≤（-x）_min=-e²．（13分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．