Question

【题目】如图， 为圆柱的母线， 是底面圆的直径， 是的中点.

（Ⅰ）问： 上是否存在点使得平面？请说明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若平面，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）可先猜测E是的中点，再证明，由题意推导出四边形AOED是平行四边形，由此能证明DE∥平面ABC；

（Ⅱ）鱼被捕的概率等于1减去四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比，由此求出四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积,即可得出结果．

试题解析：

（Ⅰ）存在，E是的中点．

证明：如图

连接∵分别为的中点，

∴，

又，且，

∴四边形是平行四边形，

即平面平面，

∴平面.

（Ⅱ）鱼被捕的概率 ，

由平面，且由（Ⅰ）知，∴平面，∴，

又是中点，∴，因是底面圆的直径，得，且，

∴平面，即为四棱锥的高．

设圆柱高为，底面半径为，则，

，

∴∶，即．