Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A(1，0)、B(0，-2)，点C满足，其中m、n∈R，且m-2n=1，
(1)求点C的轨迹方程；
(2)设点C的轨迹与双曲线(a＞0，b＞0，且a≠b)交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证为定值；
(3)在(2)的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围．

Answer 1

解：(1)设C(x，y)，因为，
则(x，y)=m(1，0)+n(0，-2)，
∴，
∵m-2n=1，
∴x+y=1，即点C的轨迹方程为x+y-1=0．
(2)由得，
由题意知，
设，则，，
因为以MN为直径的圆过原点，
∴，
即，
∴，
即，
∴为定值．
(3)∵，
∴，
∵，
∴，
∴，及，∴，
从而0＜2a≤1；
∴双曲线实轴长的取值范围是(0，1]。