Question

【题目】对于函数、、，如果存在实数使得，那么称为、的和谐函数．

（1）已知函数，，，试判断是否为、的和谐函数？并说明理由；

（2）已知为函数，的和谐函数，其中，若方程在上有解，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）是、的和谐函数（2）

【解析】

试题分析：（1）h（x）是、的和谐函数，存在a=-1，b=1，设，利用新定义判断即可．（2）解法一：方程在x∈[3，9]上有解，即log3（9x）+tlog3（3x）=0在x∈[3，9]上有解，设m=log3x，x∈[3，9]，则m∈[1，2]，原问题可以转化关于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，令g（m）=（1+t）m+（t+2）通过g（1）g（2）≤0，求解即可．解法二：log3（9x）+tlog3（3x）=0，化简得：2+log3x+t（1+log3x）=0，原式可转化为方程在x∈[3，9]区间上有解，即求函数在x∈[3，9]的值域，通过分离常数法，求解即可

试题解析：(1) 是、的生成函数，因为存在

使

设，则，

所以，

所以是、的和谐函数.

(2) 解法一：依题意，由方程在上有解，即在上有解，

化简得：

设，， 则，即

原问题可以转化关于的方程在上有解，

令

由题意得：， 解得.

综上：

(2) 解法二：，化简得：

因为，所以，

原式可转化为方程 在区间上有解

即求函数在的值域

令，因为

由反比例函数性质可得 ，函数的值域为

所以实数的取值范围