Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段AD₁上的点，且满足

D1P

=λ

PA

(λ＞0)．
（Ⅰ）当λ=1时，求证：平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥面AA₁D₁D，
又AB?ABC₁D₁∴平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D，
∵λ=1时，P为AD₁的中点，∴DP⊥AD₁，
又∵平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，
∴DP⊥平面ABC₁D₁，
又DP?平面PDB，∴平面ABC₁D₁⊥平面PDB．

（Ⅱ）∵AD₁∥BC₁，P为线段AD₁上的点，
∴三角形PBC₁的面积为定值，
即S△PBC1=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
又∵CD∥平面ABC₁D₁，
∴点D到平面PBC₁的距离为定值，即h=

2

2

，
∴三棱锥D-BPC₁的体积为定值，
即VD-PBC1=

1

3

•S△PBC1•h=

1

3

×

2

2

×

2

2

=

1

6

．
也即无论λ为何值，三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值

1

6

．