Question

如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的扇形，∠POQ的平分线交弧PQ于点E，扇形POQ的内接矩形ABCD关于OE对称；设∠POB=α，矩形ABCD的面积为S．

（1）求S与α的函数关系f（α）；

（2）求S=f（α）的最大值．

Answer 1

解答：

解：（1）由题意可得AB∥OE∥CD，∴∠POE=∠PAB=，∴∠OAD==∠ADO，∠BOC=﹣2α，△AOD为等边三角形．

故BC=2sin（﹣α）=2（cosα﹣sinα）=cosα﹣sinα．

再由∠ABO=π﹣∠AOB﹣∠OAD﹣∠BAD=π﹣α﹣﹣=﹣α，△OAB中，利用正弦定理可得，

即 =，化简可得AB=2sinα．

故矩形ABCD的面积S=f（α）=AB•BC=．

（2）由（1）可得S=f（α）=2sinαcosα﹣2sin²α=sin2α+cos2α﹣=2（sin2α+cos2α）﹣

=2sin（2α+）﹣．

再由 0＜α＜可得 ＜2α+＜，故当 2α+=，即当时，S=f（α）取得最大值为．