Question

如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的扇形，∠POQ的平分线交弧PQ于点E，扇形POQ的内接矩形ABCD关于OE对称；设∠POB=α，矩形ABCD的面积为S．
（1）求S与α的函数关系f（α）；
（2）求S=f（α）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得△AOD为等边三角形，求得BC=2sin（

π

6

-α）=cosα-

3

sinα．再求得∠ABO=

π

6

-α，△OAB中，利用正弦定理求得AB=2sinα．
可得矩形ABCD的面积S=f（α）=AB•BC=2sinα(cosα-

3

sinα)， (0＜α＜

π

6

)．
（2）由（1）可得S=f（α）=2sin（2α+

π

3

）-

3

．再由 0＜α＜

π

6

，根据正弦函数的定义域和值域求得S=f（α）的最大值．

解答：解：（1）由题意可得AB∥OE∥CD，∴∠POE=∠PAB=

π

6

，∴∠OAD=

π

3

=∠ADO，∠BOC=

π

3

-2α，△AOD为等边三角形．
故BC=2sin（

π

6

-α）=2（

1

2

cosα-

3

2

sinα）=cosα-

3

sinα．
再由∠ABO=π-∠AOB-∠OAD-∠BAD=π-α-

π

3

-

π

2

=

π

6

-α，△OAB中，利用正弦定理可得

AB

sin∠AOB

=

OB

sin∠OAB

，
即

AB

sinα

=

1

sin( π 3 + π 2 )

，化简可得AB=2sinα．
故矩形ABCD的面积S=f（α）=AB•BC=2sinα(cosα-

3

sinα)， (0＜α＜

π

6

)．
（2）由（1）可得S=f（α）=2sinαcosα-2

3

sin²α=sin2α+

3

cos2α-

3

=2（

1

2

sin2α+

3

2

cos2α）-

3

=2sin（2α+

π

3

）-

3

．
再由 0＜α＜

π

6

可得

π

3

＜2α+

π

3

＜

2π

3

，故当 2α+

π

3

=

π

2

，即当α=

π

12

时，S=f（α）取得最大值为2-

3

．

点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系、两角和差的三角公式、正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．