Question

【题目】如图，在三棱柱与四棱锥的组合体中，已知平面，四边形是平行四边形， ， ， ， ，设是线段中点.

(1)求证： 平面；

(2)证明：平面平面；

(3)求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：取的中点，连接，易证为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定定理即可；

（2）根据，证得，即，进一步可证，从而证得面，于是得平面，利用面面垂直的判定定理可得结论；

（3）利用等体积法，即可求得点到平面的距离.

试题解析：

(1)证明：取的中点，连结， ， ，则、、三点共线，

∵为三棱柱，∴平面平面，

故且，∴四边形为平行四边形，∴，又∵面，

面面.

(2)证明：∵， ， ，作于，

可得， ， ，则，

∴，即，

又平面， 平面， ，

在三棱柱中， 而，

∴平面，又，得平面，

而平面，∴平面平面.

(3)由(2)知， ，又，∴平面，

即为四棱锥的高， ，又，

∴.