Question

已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知A（-3，0），B（3，0），P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求的值．

Answer 1

解：（Ⅰ） 设椭圆C的标准方程为．
∵，c=2，a²=b²+c²
∴a²=9，b²=5…（4分）
所以椭圆C的标准方程为．…（5分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），直线，…（7分）
令x=0，得：，…（9分）
∵P点在椭圆上，∴
所以：，…（12分）
分析：（Ⅰ） 设椭圆C的标准方程为，利用椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），确定几何量之间的关系，从而可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），可得直线方程，令x=0，从而可求M，N的坐标，根据P点在椭圆上，即可求得的值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，求椭圆的标准方程，利用待定系数法是我们常用的方法．