Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′在平面ABD上的射影O恰在AB上.?

（1）求证：BC′⊥平面AC′D;?

（2）求点A到平面BC′D的距离；?

（3）求直线AB与平面BC′D所成角的大小.

Answer 1

（1）证明：∵点C′在平面ABC上的射影O在AB上，∴C′O⊥?平面ABD，故斜线BC′在平面ABD上的射影为AB.∵DA⊥AB，∴DA⊥BC′(三垂线定理）.?

又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D.?

∵DA∩C′D=D,∴BC′⊥平面AC′D.?

（2）解析：如图所示，过A作AH⊥C′D于H，∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AH.?

∴AH⊥平面BC′D.故AH的长就是A点到平面BC′D的距离.?

∵DA⊥AB，DA⊥BC，∴DA⊥平面ABC′.∴DA⊥AC′.?

在Rt△AC′B中，?

AC′=，?

在Rt△BC′D中，C′D=CD=.?

在Rt△C′AD中，由面积关系，得AH=,即点A到平面BC′D的距离.?

另法：（等积代换法）点A到平面BC′D的距离看成以A为顶点，以△BC′D为底面的三棱锥的高，利用等积代换思想有V_A—BC′D =V_C′—ABD?.设点A到平面BC′D的距离为d,又?C′D?⊥面ABD,?

∴C′O是三棱锥C′—ABD的高.?

∴S_△BC′D?·d=S_△ABD?·C′O.?

∴d=.?

由平面图形和立体图形知BC′⊥C′D,??

∴C′B=BC=3,C′D=AB=.?

∴BD==6.?

∴S_△BC′D?=×3×3.?

又∵DA⊥AB于A，?

∴DA=3，AB=3.?

∴S_△ABD?=×3×3.?

又由（1）知C′B⊥平面AC′D，?

∴C′B⊥C′A.?

又AB=3，C′B=3，∴C′A=.?

∴C′O=.?

∴d=.?

∴点A到平面BC′D的距离为.?

（3）解析：连结BH，?

∵AH⊥平面BC′D，?

∴BH是AB在平面BC′D上的射影.故∠ABH就是直线AB与平面BC′D所成的角.?

在Rt△AHB中，sin∠AHB=.?

∴∠AHB=arcsin.?

∴直线AB与平面BC′D所成角的大小为arcsin.