Question

如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．
（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；
（Ⅱ）现发现BC边上距点C的

1

3

处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，连接OD，利用面面垂直，可得BO⊥OD，进而利用Rt△BOD中，BO=

12

5

，OD=

193

5

，可求BD=

337

5

．
（Ⅱ）两种方案：方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，可知平面EFG∥平面ACD，从而可求原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分体积比；方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分体积比，从而可确定方案．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，连接OD

面ABC⊥面ACD BO?面ABC 面ABC∩面ACD=AC

⇒

BO⊥面ACD OD?面ACD

∴BO⊥OD
由已知BO=

12

5

，OD=

193

5

在Rt△BOD中，BD=

337

5

．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，

EF∥AC EF?面ACD AC?面ACD ⇒EF∥面ACD

∵EG∥平面ACD，

EF∩EG=E
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时

VB-EFG

VB-ACD

=(

2

3

)3=

8

27

．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时

VC-EPQ

VC-BDA

=(

1

3

)3=

1

27

，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）．

点评：本题以平面图形的翻折为载体，考查面面垂直的性质，考查几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力．