Question

已知．
（Ⅰ）判断曲线在的切线能否与曲线相切？并说明理由；
（Ⅱ）若求的最大值；
（Ⅲ）若，求证：．

Answer 1

（1）曲线在的切线不能与曲线相切
（2）当>，即时，．
当，即时，=．
当，即时，
（3）构造函数结合导数的知识里求解最值，证明不等式。

试题分析：解：（Ⅰ），则，，
∴曲线在的切线l的方程为．
若l与曲线相切，设切点为，则．
由，得，∴，得，与矛盾．
∴曲线在的切线不能与曲线相切．
（Ⅱ），令得．
∴．
∴在上为增函数，在上为减函数．
∴当>，即时，．
当，即时，=．
当，即时，． 
（Ⅲ）由（Ⅱ）知=．
∵，∴=．
∴，得，∴且．
得，又，
∴．
点评：解决的关键是根据导数的符号判定函数的单调性，以及函数的最值，属于中档题。