Question

已知数列{a_n}中，，数列{b_n}满足．

（1）求证：数列{b_n}是等差数列；

（2）求数列{a_n}中的最大项和最小项，并说明理由．

Answer 1

考点：

数列递推式；数列的函数特性；等差关系的确定．

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

（1）把给出的变形得a_na_n﹣1=2a_n﹣1﹣1，然后直接求b_n+1﹣b_n，把b_n+1和b_n用a_n+1和a_n表示后整理即可得到结论；

（2）求出数列{b_n}的通项公式，则数列{a_n}的通项公式可求，然后利用数列的函数特性可求其最大项和最小项．

解答：

（1）证明：由，得：a_na_n﹣1=2a_n﹣1﹣1，则a_n+1a_n=2a_n﹣1．

又，

∴b_n+1﹣b_n=

====1．

∴数列{b_n}是等差数列；

（2）解：∵，，

又数列{b_n}是公差为1的等差数列，

∴，

则=，

当n=4时，取最大值3，当n=3时，取最小值﹣1．

故数列{a_n}中的最大项是a₄=3，最小项是a₃=﹣1．

点评：

本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查了数列的函数特性，正确确定数列的通项，利用数列的函数特性求出数列的最大值和最小值是该题的难点所在，是中档题．